Решим прямую задачу линейного программирования   симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 8x₁ + 5x₂ при следующих условиях-ограничений.

3x₁ + 5x₂≥12

5x₁ + 7x₂≤30

 - 3x₁ + 2x₂≤7

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≥) вводим базисную переменную x₃ со знаком минус. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₄. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅.

3x₁ + 5x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ = 12

5x₁ + 7x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ = 30

-3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ = 7

Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x₆;

3x₁ + 5x₂-1x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 1x₆ = 12

5x₁ + 7x₂ + 0x₃ + 1x₄ + 0x₅ + 0x₆ = 30

-3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 0x₄ + 1x₅ + 0x₆ = 7

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = 8x₁+5x₂ - Mx₆ => max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

 x₆ = 12-3x₁-5x₂+x₃

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = (8+3M)x₁+(5+5M)x₂+(-1M)x₃+(-12M) => max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x₆, x₄, x₅,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,30,7,12)

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₂, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения D_i по строкам как частное от деления: b_i / a_i2

и из них выберем наименьшее:

min (12 : 5 , 30 : 7 , 7 : 2 ) = 2²/₅

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.